Was ist ein Kettenbruch?

Es ist eine Möglichkeit, eine Zahl als ganzzahligen Teil plus 1 geteilt durch (eine weitere Ganzzahl plus 1 geteilt durch ...) zu schreiben, kompakt geschrieben als [a₀; a₁, a₂, a₃, ...].

Was ist ein Näherungsbruch?

Ein Näherungsbruch ist der Bruch, den Sie erhalten, wenn Sie eine Kettenbruch-Erweiterung nach einer bestimmten Anzahl von Termen abbrechen — jeder ist die bestmögliche rationale Annäherung der ursprünglichen Zahl mit einem Nenner dieser Größe.

Hat jede Zahl einen Kettenbruch?

Jede reelle Zahl hat einen, aber nur rationale Zahlen (Brüche und endliche oder periodische Dezimalzahlen) haben einen endlichen Kettenbruch — irrationale Zahlen wie π oder √2 haben unendliche, nicht-periodische Erweiterungen, weshalb dieser Rechner, der eine exakte endliche Eingabe erfordert, mit rationalen Zahlen arbeitet.

Warum approximiert 355/113 π so gut?

Es ist ein Näherungsbruch in der Kettenbruch-Erweiterung von π [3; 7, 15, 1, 292, ...] — das Abbrechen kurz vor dem ungewöhnlich großen Term 292 erzeugt eine außergewöhnlich genaue Annäherung im Verhältnis zur Kleinheit ihres Nenners.

Kann ich einen Bruch direkt eingeben?

Ja — geben Sie ihn in der Form p/q ein, wie 355/113, und der Rechner wird ihn kürzen und direkt erweitern, ohne zuerst eine Dezimalannäherung zu benötigen.

Warum unterstützt dieser Rechner nur nicht-negative Zahlen?

Die Kettenbruch-Erweiterung basiert auf der Abrundungsfunktion, die sich bei negativen Zahlen anders verhält, was die schrittweise Erklärung verkomplizieren würde — dieser Rechner beschränkt sich der Klarheit halber auf nicht-negative Werte.

Wie groß kann meine Eingabe sein?

Dezimaleingaben unterstützen bis zu 30 Stellen nach dem Dezimalpunkt, und die Erweiterung läuft bis zu 200 Terme, mehr als genug für jede vernünftig große rationale Zahl.

Wo werden Kettenbrüche im echten Leben verwendet?

Sie werden verwendet, um beste rationale Annäherungen zu finden (Kalendersysteme, Übersetzungsverhältnisse, musikalische Stimmung), Pells Gleichung in der Zahlentheorie zu lösen, und in einigen Algorithmen zur Faktorisierung von Ganzzahlen und rationaler Annäherung.

Kettenbruch-Rechner — Erweitern Sie eine Zahl und Sehen Sie Ihre Näherungsbrüche

Unser Kettenbruch-Rechner nimmt jede nicht-negative Dezimalzahl oder jeden Bruch (p/q) und erweitert ihn mit dem euklidischen Algorithmus in seine Kettenbruch-Terme [a₀; a₁, a₂, ...], zeigt dann jeden Näherungsbruch — die besten rationalen Annäherungen, die Sie durch frühzeitiges Abbrechen der Erweiterung erhalten — sowohl als exakten Bruch als auch als Dezimalzahl, durchgehend mit BigInt-Präzision berechnet.

Kurzantwort

Geben Sie unten eine Dezimalzahl oder einen Bruch ein, um sofort ihre Kettenbruch-Erweiterung [a₀; a₁, a₂, ...] und eine Tabelle jedes Näherungsbruchs zu sehen — ihre besten rationalen Annäherungen.

Zahl oder Bruch

Geben Sie eine nicht-negative Dezimalzahl ein (z. B. 3.14159) oder einen Bruch in der Form p/q (z. B. 355/113).

So verwenden Sie Kettenbruch-Rechner — Erweitern & Auswerten Online

1
Geben Sie eine nicht-negative Dezimalzahl (wie 3.14159) oder einen Bruch in der Form p/q (wie 355/113) ein.
2
Klicken Sie auf 'Erweitern', um die Kettenbruch-Terme zu berechnen.
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Sehen Sie sich die Tabelle der Näherungsbrüche an, die jede sukzessiv bessere rationale Annäherung zeigt.

Warum Kettenbruch-Rechner — Erweitern & Auswerten Online verwenden?

Jede rationale Zahl hat eine endliche Kettenbruch-Erweiterung, gefunden auf dieselbe Weise, wie der euklidische Algorithmus einen ggT findet — durch wiederholtes Nehmen des ganzzahligen Teils und Invertieren des Rests. Das Abbrechen dieser Erweiterung an jedem beliebigen Punkt ergibt einen 'Näherungsbruch', die bestmögliche rationale Annäherung mit einem so kleinen Nenner — dasselbe Prinzip, warum 22/7 und 355/113 berühmte Annäherungen von π sind. Dieser Rechner führt die exakte Erweiterung mit BigInt-Präzision durch und listet jeden Näherungsbruch auf dem Weg auf, sodass Sie genau sehen können, wie sich die Annäherung bei jedem Schritt verbessert.

Kettenbruch-Rechner — Erweitern Sie eine Zahl und Sehen Sie Ihre Näherungsbrüche

Kurzantwort

So verwenden Sie Kettenbruch-Rechner — Erweitern & Auswerten Online

Warum Kettenbruch-Rechner — Erweitern & Auswerten Online verwenden?

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