Was ist das Inklusions-Exklusions-Prinzip?

Es ist eine Zähltechnik zum Finden der Größe einer Vereinigung sich überschneidender Mengen, indem die Größen aller möglichen Schnittmengen abwechselnd addiert und subtrahiert werden, um mehrfach gezählte Elemente zu korrigieren.

Wie lautet die Formel für zwei Mengen?

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A∩B| — Sie subtrahieren die Schnittmenge einmal, weil das einfache Addieren von |A| + |B| jedes Element in beiden Mengen doppelt zählt.

Wie lautet die Formel für drei Mengen?

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C| — die dreifache Schnittmenge wird wieder addiert, weil sie durch die paarweisen Terme dreimal subtrahiert wird, aber nur dreimal in den individuellen Größen gezählt wurde, was eine Addition erfordert, um das Gleichgewicht zu korrigieren.

Warum brauche ich die dreifache Schnittmenge für 3 Mengen, aber nicht für 2?

Bei nur zwei Mengen gibt es keine 'dreifache Überschneidung' zu korrigieren — die einzige paarweise Subtraktion berücksichtigt die doppelte Zählung vollständig. Bei drei Mengen überkorrigieren die paarweisen Subtraktionen die Elemente in allen drei Mengen, sodass der dreifache Schnittmengenterm das Gleichgewicht wiederherstellt.

Was, wenn ich die genauen Elemente nicht kenne, nur Anzahlen?

Genau dafür ist dieser Rechner da — er arbeitet rein mit den Größen jeder Menge und jeder Schnittmenge, ohne die zugrunde liegenden Elementlisten zu benötigen, im Gegensatz zu einem vollständigen Mengenlistungswerkzeug.

Können Schnittmengengrößen größer sein als die Mengen selbst?

Nein — dieser Rechner validiert, dass jede Schnittmengengröße die kleinere der Mengen (oder paarweisen Schnittmengen), von der sie abgeleitet ist, nicht überschreitet, und meldet einen Fehler, wenn die Zahlen inkonsistent sind.

Unterstützt dies mehr als 3 Mengen?

Derzeit nicht — dieser Rechner ist auf 2 oder 3 Mengen beschränkt, was die überwiegende Mehrheit der praktischen Inklusions-Exklusions-Probleme abdeckt. Über 3 Mengen hinaus wächst die Anzahl der Schnittmengenterme schnell (2ⁿ − 1 Terme für n Mengen).

Wo wird Inklusion-Exklusion im echten Leben verwendet?

Sie wird in der Wahrscheinlichkeitsrechnung verwendet (Berechnung der Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eines von mehreren Ereignissen eintritt), bei der Zählung von Datenbankabfragen und bei kombinatorischen Problemen wie dem Zählen von Zahlen, die durch mindestens einen von mehreren gegebenen Teilern teilbar sind.

Inklusions-Exklusions-Rechner — Finden Sie die Größe einer Vereinigung von Mengen

Unser Inklusions-Exklusions-Rechner berechnet |A ∪ B| oder |A ∪ B ∪ C| direkt aus den Größen der Mengen und ihren paarweisen (und dreifachen, bei 3 Mengen) Schnittmengen — keine Elementlisten erforderlich, nur Anzahlen — und wendet das Inklusions-Exklusions-Prinzip exakt an, wobei die vollständige Formeleinsetzung gezeigt wird.

Kurzantwort

Geben Sie unten die Größen Ihrer Mengen und ihrer Schnittmengen ein, um sofort die Größe ihrer Vereinigung über das Inklusions-Exklusions-Prinzip zu berechnen, für 2 oder 3 Mengen.

|A|

|B|

|A∩B|

So verwenden Sie Inklusions-Exklusions-Rechner — Vereinigung von 2 oder 3 Mengen Online

1
Wählen Sie 2 Mengen oder 3 Mengen.
2
Geben Sie die Größe jeder Menge und die Größe jeder Schnittmenge ein (und die dreifache Schnittmenge, bei 3 Mengen).
3
Klicken Sie auf 'Berechnen', um die Größe der Vereinigung und die Formeleinsetzung zu sehen.

Warum Inklusions-Exklusions-Rechner — Vereinigung von 2 oder 3 Mengen Online verwenden?

Das einfache Addieren der Größen sich überschneidender Mengen zählt jedes Element, das in mehr als einer erscheint, doppelt — das Inklusions-Exklusions-Prinzip korrigiert dies, indem es die Größen aller möglichen Schnittmengen abwechselnd addiert und subtrahiert: die einzelnen Mengen addieren, die paarweisen Überschneidungen subtrahieren (die doppelt gezählt wurden), dann die dreifache Überschneidung wieder addieren (die durch die paarweise Korrektur vollständig subtrahiert wurde). Dieser Rechner arbeitet rein mit Anzahlen statt tatsächlichen Elementlisten, was nützlich ist, wenn Sie Mengengrößen und Überschneidungsgrößen aus Umfragedaten oder anderen aggregierten Zählungen kennen, anstatt der zugrunde liegenden Elemente selbst — anders als der Mengenlehre-Rechner der Seite, der mit expliziten Elementlisten arbeitet.

Inklusions-Exklusions-Rechner — Finden Sie die Größe einer Vereinigung von Mengen

Kurzantwort

So verwenden Sie Inklusions-Exklusions-Rechner — Vereinigung von 2 oder 3 Mengen Online

Warum Inklusions-Exklusions-Rechner — Vereinigung von 2 oder 3 Mengen Online verwenden?

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