Was zählen Stirling-Zahlen zweiter Art?

S(n, k) zählt die Anzahl der Möglichkeiten, eine Menge von n verschiedenen Objekten in genau k nicht-leere, unbeschriftete Teilmengen zu partitionieren.

Was zählen Stirling-Zahlen erster Art?

Die unsignierte Stirling-Zahl c(n, k) zählt die Anzahl der Permutationen von n Elementen, die genau k Zyklen haben, wenn sie in Zyklennotation geschrieben werden.

Was ist der Unterschied zwischen signierten und unsignierten Stirling-Zahlen erster Art?

Der unsignierte Wert c(n, k) ist immer nicht-negativ und hat die direkte Bedeutung des Zählens von Permutationszyklen; der signierte Wert s(n, k) = (−1)ⁿ⁻ᵏ × c(n, k) erscheint, wenn Stirling-Zahlen als Koeffizienten verwendet werden, die Fakultätspotenzen mit gewöhnlichen Potenzen in Beziehung setzen.

Wie lautet die Rekursion für die zweite Art?

S(n, k) = k × S(n−1, k) + S(n−1, k−1), mit den Basisfällen S(0, 0) = 1 und S(n, 0) = 0 für n > 0.

Wie lautet die Rekursion für die erste Art?

c(n, k) = (n−1) × c(n−1, k) + c(n−1, k−1), mit derselben Art von Basisfällen — was widerspiegelt, dass das Hinzufügen des n-ten Elements entweder zu seinem eigenen Zyklus wird oder in eine der bestehenden n−1 Positionen eingefügt wird.

Was passiert, wenn k > n ist?

Beide Arten von Stirling-Zahlen sind 0, wann immer k > n ist, da Sie n Objekte nicht in mehr als n nicht-leere Gruppen partitionieren können (oder mehr als n Zyklen aus n Elementen bilden können).

Wie groß kann n sein?

Dieser Rechner unterstützt n bis zu 500, unter Verwendung einer dynamischen Programmierungstabelle, die mit exakter BigInt-Arithmetik berechnet wird, sodass die Ergebnisse exakt bleiben, egal wie viele Stellen sie haben.

Wo werden Stirling-Zahlen im echten Leben verwendet?

Sie erscheinen in der Kombinatorik (Zählen von Partitionen und Permutationsstrukturen), in der Analyse von Algorithmen (insbesondere solchen mit Permutationen) und beim Ausdrücken von Polynomen in Bezug auf fallende oder steigende Fakultäten.

Stirling-Zahlen Rechner — Berechnen Sie S(n,k) und c(n,k)

Unser Stirling-Zahlen-Rechner berechnet beide Arten von Stirling-Zahlen: die zweite Art S(n, k), die die Anzahl der Möglichkeiten zählt, n Objekte in k nicht-leere Teilmengen zu partitionieren, und die erste Art c(n, k) (unsigniert) oder s(n, k) (signiert), die Permutationen von n Elementen zählt, die in k Zyklen angeordnet sind — beide über ihre Standardrekursionen mit exakter BigInt-Präzision aufgebaut.

Kurzantwort

Wählen Sie die erste oder zweite Art, geben Sie n und k ein, und dieser Rechner berechnet die exakte Stirling-Zahl über ihre Standardrekursion, mit BigInt-Präzision.

Geben Sie n und k ein und klicken Sie auf Berechnen.

So verwenden Sie Stirling-Zahlen Rechner — Erste & Zweite Art Online

1
Wählen Sie die erste oder zweite Art der Stirling-Zahl.
2
Geben Sie n und k ein (beide nicht-negative ganze Zahlen, k ≤ n).
3
Klicken Sie auf 'Berechnen', um den exakten Wert zu sehen, berechnet über die Standardrekursion.

Warum Stirling-Zahlen Rechner — Erste & Zweite Art Online verwenden?

Stirling-Zahlen, benannt nach James Stirling, kommen in zwei Familien vor, die beide eine kombinatorische Zählung durch rekursive Betrachtung des letzten Elements zerlegen: die zweite Art S(n, k) zählt die Möglichkeiten, n beschriftete Objekte in k nicht-leere unbeschriftete Gruppen zu partitionieren, während die erste Art Permutationen von n Elementen nach ihrer Zyklenanzahl zählt. Beide erfüllen eine übersichtliche Rekursion, die S(n, k) (oder c(n, k)) mit kleineren Fällen in Beziehung setzt, die dieser Rechner direkt mit einer dynamischen Programmierungstabelle und exakter BigInt-Arithmetik anwendet, da beide Familien extrem schnell wachsen.

Stirling-Zahlen Rechner — Berechnen Sie S(n,k) und c(n,k)

Kurzantwort

So verwenden Sie Stirling-Zahlen Rechner — Erste & Zweite Art Online

Warum Stirling-Zahlen Rechner — Erste & Zweite Art Online verwenden?

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