Quelle est la formule pour deux ensembles ?

|A ∪ B| = |A| + |B| − |A∩B| — vous soustrayez l'intersection une fois car simplement additionner |A| + |B| compte deux fois chaque élément dans les deux ensembles.

Quelle est la formule pour trois ensembles ?

|A ∪ B ∪ C| = |A| + |B| + |C| − |A∩B| − |A∩C| − |B∩C| + |A∩B∩C| — l'intersection triple est rajoutée car elle est soustraite trois fois par les termes par paires mais n'a été comptée que trois fois dans les tailles individuelles, nécessitant une addition pour corriger l'équilibre.

Pourquoi ai-je besoin de l'intersection triple pour 3 ensembles mais pas pour 2 ?

Avec seulement deux ensembles, il n'y a pas de 'chevauchement triple' à corriger — la soustraction par paires unique explique entièrement le double comptage. Avec trois ensembles, les soustractions par paires surcorrigent les éléments dans les trois ensembles, donc le terme d'intersection triple restaure l'équilibre.

Que faire si je ne connais pas les éléments exacts, seulement les dénombrements ?

C'est exactement à cela que sert cette calculatrice — elle fonctionne purement à partir des tailles de chaque ensemble et de chaque intersection, sans avoir besoin des listes d'éléments sous-jacentes, contrairement à un outil complet de listage d'ensembles.

Les tailles d'intersection peuvent-elles être plus grandes que les ensembles eux-mêmes ?

Non — cette calculatrice vérifie que chaque taille d'intersection ne dépasse pas le plus petit des ensembles (ou intersections par paires) dont elle est dérivée, et signale une erreur si les chiffres sont incohérents.

Cela prend-il en charge plus de 3 ensembles ?

Pas actuellement — cette calculatrice se limite à 2 ou 3 ensembles, ce qui couvre l'immense majorité des problèmes pratiques d'inclusion-exclusion. Au-delà de 3 ensembles, le nombre de termes d'intersection croît rapidement (2ⁿ − 1 termes pour n ensembles).

Où l'inclusion-exclusion est-elle utilisée dans la vie réelle ?

Elle est utilisée en probabilité (calcul de la probabilité qu'au moins un de plusieurs événements se produise), le comptage de requêtes de base de données, et des problèmes combinatoires comme le comptage de nombres divisibles par au moins un de plusieurs diviseurs donnés.

Calculatrice d'Inclusion-Exclusion — Trouvez la Taille d'une Union d'Ensembles

Q: Qu'est-ce que le principe d'inclusion-exclusion ?

C'est une technique de comptage pour trouver la taille d'une union d'ensembles qui se chevauchent en ajoutant et soustrayant alternativement les tailles de toutes les intersections possibles, corrigeant les éléments comptés plusieurs fois.

Notre Calculatrice d'Inclusion-Exclusion calcule |A ∪ B| ou |A ∪ B ∪ C| directement à partir des tailles des ensembles et de leurs intersections par paires (et triples, pour 3 ensembles) — aucune liste d'éléments requise, juste des dénombrements — en appliquant le principe d'inclusion-exclusion exactement et en montrant la substitution complète de la formule.

Réponse rapide

Saisissez les tailles de vos ensembles et de leurs intersections ci-dessous pour calculer instantanément la taille de leur union via le principe d'inclusion-exclusion, pour 2 ou 3 ensembles.

|A|

|B|

|A∩B|

Comment utiliser Calculatrice d'Inclusion-Exclusion — Union de 2 ou 3 Ensembles en Ligne

1
Choisissez 2 ensembles ou 3 ensembles.
2
Saisissez la taille de chaque ensemble et la taille de chaque intersection (et l'intersection triple, pour 3 ensembles).
3
Cliquez sur 'Calculer' pour voir la taille de l'union et la substitution de la formule.

Pourquoi utiliser Calculatrice d'Inclusion-Exclusion — Union de 2 ou 3 Ensembles en Ligne ?

Additionner simplement les tailles d'ensembles qui se chevauchent compte deux fois chaque élément qui apparaît dans plus d'un — le principe d'inclusion-exclusion corrige cela en ajoutant et soustrayant alternativement les tailles de toutes les intersections possibles : additionner les ensembles individuels, soustraire les chevauchements par paires (qui ont été comptés deux fois), puis rajouter le chevauchement triple (qui a été entièrement soustrait par la correction par paires). Cette calculatrice fonctionne purement à partir de dénombrements plutôt que de listes d'éléments réelles, ce qui est utile lorsque vous connaissez les tailles d'ensembles et de chevauchements à partir de données d'enquête ou d'autres dénombrements agrégés plutôt que des éléments sous-jacents eux-mêmes — contrairement à la Calculatrice de Théorie des Ensembles du site, qui fonctionne avec des listes explicites d'éléments.

Questions fréquentes

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