Qu'est-ce que la distribution d'état stationnaire d'une chaîne de Markov ?

C'est la distribution de probabilité sur les états qui reste inchangée après une transition supplémentaire (πP = π) — intuitivement, la fraction de temps à long terme que la chaîne passe dans chaque état.

Que signifie 'stochastique par ligne' ?

Cela signifie que chaque ligne de la matrice de transition représente une distribution de probabilité valide : toutes les entrées sont non négatives et chaque ligne somme exactement à 1, puisque la ligne i, colonne j donne la probabilité de passer de l'état i à l'état j.

Comment fonctionne l'itération de puissance ?

Elle commence avec n'importe quel vecteur de probabilité et le multiplie de manière répétée par la matrice de transition ; pour les chaînes bien comportées, cette séquence de vecteurs converge vers la distribution stationnaire unique quel que soit le point de départ.

Chaque chaîne de Markov a-t-elle un état stationnaire unique ?

Non — une chaîne doit être irréductible (chaque état accessible depuis tout autre) et apériodique (ne cycle pas selon un rythme fixe) pour garantir un état stationnaire unique que l'itération de puissance trouvera ; les chaînes périodiques ou réductibles peuvent ne pas converger.

Que se passe-t-il si le calculateur ne converge pas ?

Il exécute jusqu'à 1000 itérations et signale si le vecteur s'est stabilisé dans une tolérance stricte ; sinon, la chaîne peut être périodique ou réductible, et l'approximation la plus proche trouvée est affichée plutôt qu'une fausse affirmation de convergence.

Quelle taille de matrice ce calculateur peut-il gérer ?

Ce calculateur prend en charge des matrices de transition jusqu'à 20×20, gardant chaque étape d'itération de puissance instantanée tout en couvrant la grande majorité des exemples de chaînes saisis manuellement.

Est-ce la même chose qu'un calcul de vecteurs propres ?

Conceptuellement oui — la distribution d'état stationnaire est le vecteur propre gauche de la matrice de transition pour la valeur propre 1 — mais l'itération de puissance l'atteint par une simple multiplication matrice-vecteur répétée plutôt que par une décomposition générale en valeurs propres.

Où les chaînes de Markov sont-elles utilisées dans la vie réelle ?

Elles modélisent le classement des pages web (PageRank), la prévision météorologique, les systèmes de jeux de plateau et de files d'attente, la génétique (modélisation de séquences d'ADN) et la prédiction du comportement/désabonnement des clients.

Calculateur d'État Stationnaire de Chaîne de Markov — Trouvez la Distribution à Long Terme

Notre Calculateur d'État Stationnaire de Chaîne de Markov trouve la distribution de probabilité à long terme entre les états d'une chaîne de Markov — la distribution qui ne change plus une fois que la chaîne se stabilise — à partir d'une matrice de transition stochastique par ligne, à l'aide de l'itération de puissance (multiplier de manière répétée un vecteur de probabilité par la matrice jusqu'à ce qu'il se stabilise).

Réponse rapide

Saisissez une matrice de transition stochastique par ligne pour trouver instantanément la distribution d'état stationnaire de la chaîne via l'itération de puissance.

Matrice de transition

Saisissez une ligne par ligne, probabilités séparées par des virgules (point décimal) sommant à 1, par ex. 0.9,0.1 puis 0.5,0.5.

Comment utiliser Calculateur d'État Stationnaire de Chaîne de Markov en Ligne

1
Saisissez votre matrice de transition, une ligne par ligne, avec des probabilités séparées par des virgules (point décimal, pas de virgule), ex. 0.9,0.1 puis 0.5,0.5.
2
Chaque ligne doit être non négative et sommer à 1 (une distribution de probabilité valide sur l'état suivant).
3
Cliquez sur 'Calculer' pour trouver la distribution d'état stationnaire via l'itération de puissance.

Pourquoi utiliser Calculateur d'État Stationnaire de Chaîne de Markov en Ligne ?

Une chaîne de Markov se déplace entre des états avec des probabilités de transition fixes, et pour de nombreuses chaînes, la probabilité d'être dans chaque état converge vers une distribution 'd'état stationnaire' fixe, quel que soit le point de départ — la fraction de temps à long terme passée dans chaque état. L'itération de puissance trouve cette distribution directement : commencer avec n'importe quel vecteur de probabilité (ce calculateur utilise une estimation initiale uniforme), le multiplier de manière répétée par la matrice de transition (π ← πP), et observer sa convergence vers la distribution stationnaire π qui satisfait πP = π. Cette approche itérative est plus simple et numériquement plus robuste à implémenter correctement que résoudre directement l'équation des vecteurs propres, et fonctionne de manière fiable pour les chaînes irréductibles et apériodiques.

Questions fréquentes

Outils similaires

Calculatrice de Matrice d'Adjacence — Construisez une Matrice de Graphe en Ligne

Construisez et affichez la matrice d'adjacence d'un graphe à partir d'une simple saisie de liste d'arêtes, avec sa séquence de degrés. Calculatrice gratuite, pondérée ou non pondérée.

Calculatrice de Distribution de Probabilité — Moyenne, Variance et Écart-Type

Calculez la moyenne, la variance, et l'écart-type de toute distribution de probabilité discrète personnalisée. Calculatrice gratuite qui vérifie que vos probabilités totalisent 1 avec des statistiques étape par étape.

Calculateur d'Anneaux et de Corps — Arithmétique Modulaire dans ℤₙ en Ligne

Effectuez +, −, ×, ÷ dans ℤₙ (entiers mod n), voyez si ℤₙ est un corps ou seulement un anneau, et listez ses unités et diviseurs de zéro. Calculateur gratuit, résultats instantanés.