Qu'est-ce qu'un dérangement ?

Un dérangement est une permutation d'un ensemble où aucun élément n'apparaît à sa position d'origine — chaque objet individuel est déplacé de là où il a commencé.

Quelle est la récurrence pour !n ?

!n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)), avec les cas de base !0 = 1 et !1 = 0.

Il y a exactement une façon d'arranger zéro objet — l'arrangement vide — et il satisfait de manière vacueuse le fait qu'aucun objet n'est à sa position d'origine, donc !0 = 1 par convention.

Un seul objet n'a qu'un seul arrangement possible, et dans cet arrangement, il reste nécessairement à sa propre (unique) position, donc il y a zéro dérangement d'un objet.

Existe-t-il une formule fermée pour !n ?

Oui — !n = n! × Σ (de k=0 à n) (−1)ᵏ/k!, une somme alternée qui converge rapidement, ce qui explique aussi pourquoi !n/n! approche 1/e à mesure que n grandit.

Quel est le classique problème de la 'vérification des chapeaux' ?

Il demande : si n personnes déposent leurs chapeaux et que ceux-ci sont rendus au hasard, de combien de façons aucune d'entre elles ne peut-elle récupérer son propre chapeau ? La réponse est exactement !n, le nombre de dérangements de n objets.

Quelle peut être la taille de n ?

Cette calculatrice prend en charge n jusqu'à 1000, calculé avec une arithmétique BigInt exacte afin que le résultat reste précis quel que soit le nombre de chiffres qu'il comporte.

Comment cela se rapporte-t-il à la factorielle et à la probabilité ?

À mesure que n grandit, !n/n! approche rapidement 1/e ≈ 0,3679 — ce qui signifie qu'environ 36,8 % de toutes les permutations d'un grand ensemble sont des dérangements, une valeur qui se stabilise remarquablement vite même pour un n modeste.

Calculatrice de Dérangements — Comptez les Permutations Sans Points Fixes

Notre Calculatrice de Dérangements calcule la sous-factorielle !n, le nombre de façons de permuter n objets de sorte qu'aucun d'entre eux ne se retrouve à sa position d'origine, en utilisant la récurrence !n = (n − 1) × (!(n − 1) + !(n − 2)), calculée avec une précision BigInt exacte afin que les résultats restent exacts quelle que soit la taille de n.

Réponse rapide

!n compte les permutations de n objets sans points fixes. Saisissez n ci-dessous pour obtenir instantanément la sous-factorielle exacte via sa récurrence, calculée avec une précision BigInt.

Saisissez n, puis cliquez sur Calculer.

Comment utiliser Calculatrice de Dérangements (Sous-factorielle) — !n en Ligne

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Saisissez n, le nombre d'objets à déranger.
2
Cliquez sur 'Calculer' pour obtenir le nombre exact de dérangements !n.
3
Consultez la récurrence utilisée pour calculer le résultat.

Pourquoi utiliser Calculatrice de Dérangements (Sous-factorielle) — !n en Ligne ?

Un dérangement est une permutation sans points fixes — chaque objet se retrouve ailleurs qu'à sa position d'origine, le scénario classique derrière des énigmes comme 'de combien de façons les chapeaux de n personnes peuvent-ils être mélangés pour que personne ne récupère le sien'. Le nombre de dérangements, noté !n, satisfait une récurrence simple construite à partir de dénombrements de dérangements plus petits, et est étroitement approximé par n!/e pour un grand n — en fait, la probabilité qu'une permutation aléatoire soit un dérangement converge vers 1/e, une apparition surprenante du nombre d'Euler en combinatoire pure. Cette calculatrice calcule !n exactement en utilisant l'arithmétique BigInt via la récurrence standard.

Questions fréquentes

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