O que a função totiente de Euler φ(n) conta?

Ela conta o número de inteiros de 1 a n que são coprimos com n — ou seja, que não compartilham nenhum fator comum com n além de 1.

Qual é a fórmula de φ(n)?

φ(n) = n × ∏ (1 − 1/p), onde o produto percorre cada fator primo distinto p de n. Por exemplo, φ(12) = 12 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12 × 1/2 × 2/3 = 4.

Qual é φ(p) para um número primo p?

Para qualquer primo p, φ(p) = p − 1, já que todo inteiro de 1 a p−1 não compartilha nenhum fator com um primo p.

φ(1) = 1 por convenção, mesmo que 1 não tenha fatores primos — é tratado como coprimo consigo mesmo como caso especial.

A função totiente de Euler é multiplicativa?

Sim — para quaisquer dois inteiros coprimos m e n, φ(mn) = φ(m) × φ(n). Essa propriedade, combinada com a fórmula de potência prima, é o que faz a fórmula do produto funcionar.

Quão grande pode ser o valor de n que esta calculadora consegue processar?

Esta calculadora suporta valores de n até 1 trilhão, usando fatoração por divisão de teste até √n, que permanece rápida mesmo nessa escala.

Por que a função totiente de Euler é importante em criptografia?

A geração de chaves RSA calcula φ(n) = φ(p) × φ(q) = (p−1)(q−1) para dois primos secretos grandes p e q, e então a usa para derivar a chave privada — isso só é viável porque quem gera as chaves conhece p e q diretamente, não fatorando n.

Como isso se relaciona com a Calculadora de Inverso Multiplicativo Modular?

O teorema de Euler afirma que a^φ(n) ≡ 1 (mod n) para qualquer a coprimo com n, o que é a base de uma forma de calcular inversos modulares: o inverso de a é a^(φ(n)−1) mod n.

Calculadora da Função Totiente de Euler — Conte Inteiros Coprimos com n

Nossa Calculadora da Função Totiente de Euler computa φ(n), o número de inteiros de 1 a n que não compartilham nenhum fator comum com n, encontrando a fatoração em primos de n e aplicando a fórmula do produto φ(n) = n × ∏(1 − 1/p) sobre cada fator primo distinto p — o mesmo método usado em toda a teoria dos números e na criptografia RSA.

Resposta rápida

φ(n) conta os inteiros de 1 a n coprimos com n. Insira n abaixo para ver φ(n), computado a partir da fatoração em primos de n via φ(n) = n × ∏(1 − 1/p).

Digite n, depois clique em Calcular.

Como usar Calculadora da Função Totiente de Euler — φ(n) Online

1
Insira um número inteiro positivo n.
2
Clique em 'Calcular' para ver φ(n) junto com a fatoração em primos completa de n.
3
Revise o detalhamento da fórmula do produto mostrando exatamente como φ(n) foi obtido.

Por que usar Calculadora da Função Totiente de Euler — φ(n) Online?

A função totiente de Euler, introduzida por Leonhard Euler, conta quantos inteiros de 1 a n são 'coprimos' com n (não compartilham nenhum fator comum). Ela tem uma fórmula de produto elegante uma vez que se conhece a fatoração em primos de n: φ(n) = n × ∏(1 − 1/p), multiplicando sobre cada fator primo distinto p. Esta função é o coração matemático da criptografia RSA — a segurança da geração de chaves RSA depende de φ(n) ser fácil de calcular quando você conhece os fatores primos de n, mas essencialmente impossível de calcular (ou usar para fatorar n) quando você não os conhece.

Perguntas frequentes

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