Qual é a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros n inteiros?

Σi² (para i = 1 a n) = n(n + 1)(2n + 1) / 6. Por exemplo, a soma dos quadrados de 1 a 10 é 10 × 11 × 21 / 6 = 385.

Como essa fórmula é demonstrada?

Ela é tipicamente demonstrada por indução matemática: verifique o caso base n = 1, então mostre que se a fórmula vale para n, ela também vale para n + 1 somando (n + 1)² a ambos os lados e simplificando.

Isso é o mesmo que elevar ao quadrado a soma dos primeiros n inteiros?

Não — elevar ao quadrado a soma (1 + 2 + ... + n)² dá um resultado diferente, maior, do que somar os quadrados individualmente (1² + 2² + ... + n²). Esta calculadora computa o último.

Quão grande pode ser o valor de n que esta calculadora consegue lidar?

Como a fórmula é um cálculo direto em vez de um loop, ela computa somas exatas para n até 1 bilhão instantaneamente, usando aritmética BigInt para que o resultado permaneça exato não importa quantos dígitos tenha.

Isso funciona para somar quadrados começando de um número diferente de 1?

Esta calculadora computa a soma começando de 1. Para encontrar a soma de quadrados em um intervalo personalizado, você pode computar a soma até o extremo maior e subtrair a soma até (início − 1), a mesma técnica de subtração usada na Calculadora de Soma de Inteiros Positivos.

Existe uma fórmula semelhante para a soma de cubos?

Sim — a soma dos primeiros n cubos tem sua própria fórmula fechada, [n(n + 1) / 2]², coberta pela Calculadora de Soma de Cubos dedicada do site.

Por que a fórmula sempre divide igualmente por 6?

n(n + 1)(2n + 1) é sempre divisível por 6 porque entre esses três fatores quase consecutivos, o produto é garantido a incluir tanto um múltiplo de 2 quanto um múltiplo de 3 — um fato da teoria dos números que decorre da prova por indução.

Onde a fórmula de soma de quadrados é usada na vida real?

Ela aparece em estatística (cálculo de variância via fórmulas de soma de desvios ao quadrado), física (cálculos de momento de inércia), e ciência da computação (análise da complexidade de tempo de certos algoritmos de loops aninhados).

Calculadora de Soma de Quadrados — Some os Quadrados dos Primeiros n Inteiros

Nossa Calculadora de Soma de Quadrados computa 1² + 2² + 3² + ... + n² usando a fórmula fechada n(n + 1)(2n + 1) / 6, dando uma resposta exata instantaneamente para qualquer n, computada com precisão BigInt para que até somas muito grandes permaneçam exatas em vez de aproximadas.

Resposta rápida

A soma dos quadrados dos primeiros n inteiros é igual a n(n + 1)(2n + 1) / 6. Insira n abaixo para obter instantaneamente a soma exata, computada com precisão BigInt para que nada se perca por arredondamento de ponto flutuante.

Digite n, depois clique em Calcular.

Como usar Calculadora de Soma de Quadrados — Fórmula Σi² Online

1
Insira n, o número de inteiros consecutivos (começando de 1) a elevar ao quadrado e somar.
2
Clique em 'Calcular' para obter instantaneamente a soma exata.
3
Revise o detalhamento da fórmula mostrando exatamente como a soma foi computada.

Por que usar Calculadora de Soma de Quadrados — Fórmula Σi² Online?

Assim como a soma dos primeiros n inteiros positivos tem uma fórmula fechada simples (provada pelo truque de pareamento de Gauss), a soma de seus quadrados tem sua própria fórmula fechada, n(n + 1)(2n + 1) / 6, demonstrável por indução matemática. Isso permite que você pule somar potencialmente milhões de termos ao quadrado um por um — a calculadora computa o resultado exato em uma única etapa independentemente de quão grande n seja, usando aritmética BigInt para que a precisão nunca se perca por arredondamento de ponto flutuante.

Perguntas frequentes

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