ماذا تعد دالة أويلر الإجمالية φ(n)؟

تعد عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى n الأولية نسبيًا مع n — أي التي لا تشترك في أي عامل مشترك مع n غير 1.

ما هي صيغة φ(n)؟

φ(n) = n × ∏ (1 − 1/p)، حيث يمتد حاصل الضرب على كل عامل أولي مميز p لـ n. على سبيل المثال، φ(12) = 12 × (1 − 1/2) × (1 − 1/3) = 12 × 1/2 × 2/3 = 4.

ما هي φ(p) لعدد أولي p؟

لأي عدد أولي p، φ(p) = p − 1، لأن كل عدد صحيح من 1 إلى p−1 لا يشترك في عامل مع عدد أولي p.

φ(1) = 1 بالاصطلاح، حتى مع أن 1 ليس له عوامل أولية — يُعامل كأولي نسبيًا لنفسه كحالة خاصة.

هل دالة أويلر الإجمالية ضربية؟

نعم — لأي عددين صحيحين أوليين نسبيًا m وn، φ(mn) = φ(m) × φ(n). هذه الخاصية، مقترنة بصيغة القوة الأولية، هي ما يجعل صيغة حاصل الضرب تعمل.

ما حجم قيمة n التي يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل معها؟

تدعم هذه الآلة الحاسبة قيم n حتى تريليون واحد، باستخدام التحليل بالقسمة التجريبية حتى √n، والذي يبقى سريعًا حتى بهذا الحجم.

لماذا دالة أويلر الإجمالية مهمة في التشفير؟

يحسب توليد مفاتيح RSA φ(n) = φ(p) × φ(q) = (p−1)(q−1) لعددين أوليين سريين كبيرين p وq، ثم يستخدمه لاشتقاق المفتاح الخاص — هذا ممكن فقط لأن مولد المفاتيح يعرف p وq مباشرة، وليس عن طريق تحليل n.

كيف يرتبط هذا بآلة حاسبة المعكوس الضربي المعياري؟

تنص مبرهنة أويلر على أن a^φ(n) ≡ 1 (mod n) لأي a أولي نسبيًا مع n، وهو أساس إحدى طرق حساب المعكوسات المعيارية: معكوس a هو a^(φ(n)−1) mod n.

آلة حاسبة دالة أويلر الإجمالية — عد الأعداد الصحيحة الأولية نسبيًا مع n

تحسب آلتنا الحاسبة لدالة أويلر الإجمالية φ(n)، عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى n التي لا تشترك في أي عامل مشترك مع n، بإيجاد التحليل إلى العوامل الأولية لـ n وتطبيق صيغة حاصل الضرب φ(n) = n × ∏(1 − 1/p) على كل عامل أولي مميز p — نفس الطريقة المستخدمة في جميع أنحاء نظرية الأعداد وتشفير RSA.

إجابة سريعة

تعد φ(n) الأعداد الصحيحة من 1 إلى n الأولية نسبيًا مع n. أدخل n أدناه لرؤية φ(n)، المحسوبة من التحليل إلى العوامل الأولية لـ n عبر φ(n) = n × ∏(1 − 1/p).

أدخل n، ثم انقر على احسب.

كيفية استخدام آلة حاسبة دالة أويلر الإجمالية — φ(n) عبر الإنترنت

1
أدخل عددًا صحيحًا موجبًا n.
2
انقر على 'احسب' لرؤية φ(n) مع التحليل الكامل إلى العوامل الأولية لـ n.
3
راجع تفصيل صيغة حاصل الضرب الذي يُظهر بالضبط كيف اشتُقت φ(n).

لماذا تستخدم آلة حاسبة دالة أويلر الإجمالية — φ(n) عبر الإنترنت؟

تعد دالة أويلر الإجمالية، التي قدمها ليونارد أويلر، عدد الأعداد الصحيحة من 1 إلى n 'الأولية نسبيًا' مع n (لا تشترك في أي عامل مشترك). لها صيغة حاصل ضرب أنيقة بمجرد معرفة التحليل إلى العوامل الأولية لـ n: φ(n) = n × ∏(1 − 1/p)، بالضرب على كل عامل أولي مميز p. هذه الدالة هي القلب الرياضي لتشفير RSA — يعتمد أمان توليد مفاتيح RSA على سهولة حساب φ(n) عندما تعرف العوامل الأولية لـ n، لكن يستحيل عمليًا حسابها (أو استخدامها لتحليل n) عندما لا تعرفها.

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

آلة حاسبة الجذر البدائي — أوجد مولدًا mod n

أوجد أصغر جذر بدائي بترديد n — مولد المجموعة الضربية mod n — مع فحص الوجود عبر دالة أويلر الإجمالية. آلة حاسبة مجانية.

آلة حاسبة الأس المعياري — bᵉ mod m سريع عبر الإنترنت

احسب bᵉ mod m لأسس كبيرة تعسفيًا باستخدام الأس السريع بطريقة التربيع والضرب. آلة حاسبة مجانية بدقة BigInt، أساسية للتشفير.

آلة حاسبة المعكوس الضربي المعياري — حل ax ≡ 1 (mod m)

أوجد المعكوس الضربي المعياري لـ a بترديد m باستخدام خوارزمية إقليدس الموسعة. آلة حاسبة مجانية بدقة BigInt وفحص وجود.

آلة حاسبة رتبة نظرية الزمر — رتبة العنصر في ℤₙ عبر الإنترنت

أوجد رتبة عنصر في (ℤₙ, +) أو (ℤ/nℤ)ˣ، مع فحص قابلية القسمة لنظرية لاغرانج مُعروض كخطوة. آلة حاسبة مجانية، نتائج فورية.