什么是伽玛函数？

伽玛函数Γ(x)是阶乘在实数（和复数）上的光滑扩展，对每个正整数n满足Γ(n) = (n − 1)!，同时也为非整数和负的非整数值定义。

为什么是Γ(n) = (n − 1)!而不是n!？

这种偏移是函数积分定义中的一种历史惯例。这意味着Γ(1) = 0! = 1，Γ(2) = 1! = 1，Γ(3) = 2! = 2，依此类推——每个都比您可能预期的阶乘向下偏移一位。

伽玛函数在零和每个负整数处都有极点（趋向无穷大），因此在那里没有有限值——本计算器对这些输入显示错误，而不是给出误导性的结果。

本计算器使用兰乔斯近似，这是一种成熟的数值方法，使用有理函数近似以高精度评估Γ(x)，避免了直接计算函数反常积分的需要。

可以——计算器使用反射公式Γ(x)Γ(1−x) = π / sin(πx)来正确评估负的非整数x的Γ(x)，此时直接近似法并不准确。

贝塔函数直接根据伽玛函数定义：B(x, y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x + y)。本站的贝塔函数计算器在内部使用相同的伽玛函数实现。

这里使用的兰乔斯近似对于典型输入精确到约15位有效数字，与科学计算库内部用于双精度伽玛函数计算的精度相当。

它出现在概率与统计（例如贝塔分布、卡方分布和学生t分布）、物理学，以及任何需要将类阶乘增长扩展到非整数值的组合数学中。

我们的伽玛函数计算器使用兰乔斯近似——计算伽玛函数达到双精度准确度的标准数值方法——为任意实数x（零和负整数除外，因为函数在这些点有极点）计算Γ(x)。对于正整数，它还会显示熟悉的恒等式Γ(n) = (n − 1)!作为交叉验证，明确了伽玛函数与阶乘之间的联系。

伽玛函数Γ(x)将阶乘扩展到实数，对正整数满足Γ(n) = (n − 1)!。输入任意实数x（零或负整数除外），即可通过兰乔斯近似——评估它的标准数值方法——获得计算出的Γ(x)。

输入x的值，然后点击计算。

伽玛函数将阶乘扩展到非整数（以及负的非整数）实数，对正整数满足Γ(n) = (n − 1)!，同时在中间和负的非整数值处也平滑地定义。直接从其积分定义计算是不切实际的；兰乔斯近似是科学计算库用于准确快速地计算Γ(x)的标准数值技术。本计算器应用相同的方法，让您无需专业数学软件即可即时获得精确结果。