ما هو التكامل الأسي Ei(x)؟

يُعرَّف Ei(x) كالقيمة الرئيسية لكوشي للتكامل ∫ (eᵗ/t) dt من −∞ إلى x، وهي دالة ليس لها صيغة مغلقة أولية ويجب تقييمها عبر متسلسلات أو طرق عددية.

لماذا Ei(x) غير مُعرّفة عند x = 0؟

للدالة المتكاملة eᵗ/t تفرد غير قابل للتكامل عند t = 0، ويتباعد حد ln|x| في توسيع المتسلسلة أيضًا مع اقتراب x من 0، لذا فإن Ei(0) غير مُعرّفة.

ما هو ثابت أويلر-ماسكيروني؟

هو الثابت γ ≈ 0.5772156649، المُعرّف كالفرق الحدي بين المتسلسلة التوافقية واللوغاريتم الطبيعي — يظهر في جميع أنحاء نظرية الأعداد والتحليل، بما في ذلك في هذه المتسلسلة لـ Ei(x).

هل تتقارب المتسلسلة لكل x؟

نعم — نظرًا لأن المتسلسلة تحتوي على k! في المقام، فإنها تتقارب لكل x منته غير صفري وفقًا لاختبار النسبة، رغم أن |x| الكبيرة جدًا تتطلب حدودًا أكثر بكثير للوصول إلى الدقة الكاملة، ولهذا تحد هذه الآلة الحاسبة من |x| من أجل الموثوقية.

كيف يختلف هذا عن E₁(x)؟

يرتبط E₁(x)، التكامل الأسي التكميلي الشائع الاستخدام في الهندسة، بـ E₁(x) = −Ei(−x) لـ x > 0 — تحسب هذه الآلة الحاسبة Ei(x) مباشرة، والتي يمكن اشتقاق E₁(x) منها بعكس الإشارة والوسيطة.

لماذا تحد هذه الآلة الحاسبة |x| إلى 50؟

خارج ذلك النطاق، تتطلب المتسلسلة عددًا متزايدًا من الحدود للتقارب إلى الدقة المضاعفة الكاملة، ويبدأ تقريب الفاصلة العائمة في قوى x الوسيطة في تقليل الموثوقية — يغطي 50 بشكل مريح النطاق الذي تحتاجه معظم الاستخدامات العملية.

أين يُستخدم التكامل الأسي في الحياة الواقعية؟

يظهر في مسائل التوصيل الحراري ونقل الإشعاع، ونمذجة تدفق المياه الجوفية (دالة بئر ثيس)، والهندسة الكهربائية، وتقييم بعض توزيعات الاحتمال.

هل Ei(x) مرتبطة باللوغاريتم الطبيعي لـ x الكبيرة؟

لـ x موجب كبير، تنمو Ei(x) تقريبًا مثل eˣ/x (أسرع بكثير من أي لوغاريتم)، بينما حد ln|x| في متسلسلتها ليس سوى جزء صغير من السلوك المقارب الكامل.

آلة حاسبة التكامل الأسي — احسب Ei(x)

تحسب آلتنا الحاسبة للتكامل الأسي Ei(x) = γ + ln|x| + Σ xᵏ/(k·k!) لأي x حقيقي غير صفري، باستخدام توسيع متسلسلة متقاربة حول ثابت أويلر-ماسكيروني γ، مُعطية نتائج دقيقة لنطاق واسع من قيم الإدخال.

إجابة سريعة

Ei(x) = γ + ln|x| + Σ xᵏ/(k·k!). أدخل أي x غير صفري أدناه لحساب التكامل الأسي فورًا عبر متسلسلته المتقاربة.

أدخل x، ثم انقر على احسب.

كيفية استخدام آلة حاسبة التكامل الأسي — Ei(x) عبر الإنترنت

1
أدخل أي عدد حقيقي x غير صفري.
2
انقر على 'احسب' لحساب Ei(x) عبر توسيع متسلسلته المتقاربة.
3
راجع الصيغة والنتيجة التقريبية الموضحة في الخطوات.

لماذا تستخدم آلة حاسبة التكامل الأسي — Ei(x) عبر الإنترنت؟

ينشأ التكامل الأسي Ei(x) بشكل طبيعي عند محاولة تكامل eᵗ/t، وهو تكامل ليس له صيغة مغلقة أولية. بدلًا من ذلك، يُعبَّر عنه من خلال متسلسلة متقاربة مبنية حول ثابت أويلر-ماسكيروني γ ≈ 0.5772156649 — متسلسلة، على عكس متسلسلة تايلور ذات نصف قطر تقارب محدود، تتقارب لكل x حقيقي غير صفري لأن k! في المقام يتغلب في النهاية على أي نمو لـ xᵏ. تجمع هذه الآلة الحاسبة عددًا كافيًا من حدود تلك المتسلسلة للوصول إلى دقة مضاعفة ضمن نطاق الإدخال المدعوم.

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

آلة حاسبة دالة بيتا — B(x,y) عبر الإنترنت

احسب دالة بيتا B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y) لـ x وy موجبين. آلة حاسبة مجانية باستخدام تقريب لانكزوس لغاما.

آلة حاسبة دالة جاما — Γ(x) عبر الإنترنت

احسب دالة جاما Γ(x) فورًا لأي رقم حقيقي، بما في ذلك الأرقام غير الصحيحة. آلة حاسبة مجانية تستخدم تقريب لانكزوس مع فحص العاملي للأعداد الصحيحة الموجبة.

آلة حاسبة النمو الأسي — A = A₀e^(rt) عبر الإنترنت

احسب النمو الأسي باستخدام A = A₀e^(rt) — أدخل المبلغ الأولي، ومعدل النمو، والوقت لإيجاد المبلغ النهائي ووقت المضاعفة. آلة حاسبة مجانية بحل خطوة بخطوة.