ما هي صيغة مجموع مكعبات أول n عدد صحيح؟

Σi³ (لـ i = 1 إلى n) = [n(n + 1) / 2]². على سبيل المثال، مجموع المكعبات من 1 إلى 10 هو [10 × 11 / 2]² = 55² = 3,025.

ما هي مبرهنة نيقوماخوس؟

هي النتيجة الكلاسيكية التي تنص على أن مجموع أول n مكعب يساوي دائمًا مربع مجموع أول n عدد صحيح — علاقة مدهشة بين مجموعين يبدوان مختلفين.

كيف تُثبت هذه الصيغة؟

عادةً ما تُثبت بالاستقراء الرياضي: تحقق من الحالة الأساسية n = 1، ثم أظهر أن إضافة (n + 1)³ إلى كلا الجانبين لا تزال تساوي [(n + 1)(n + 2) / 2]².

ما حجم قيمة n التي يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل معها؟

نظرًا لأن الصيغة عملية حسابية مباشرة وليست حلقة تكرار، فإنها تحسب مجاميع دقيقة لـ n تصل إلى مليار فورًا، باستخدام حساب BigInt حتى تبقى النتيجة دقيقة بغض النظر عن عدد أرقامها.

هل توجد صيغة مماثلة لمجموع المربعات؟

نعم — لمجموع أول n مربع صيغته المغلقة الخاصة، n(n + 1)(2n + 1) / 6، مُغطاة بواسطة آلة حاسبة مجموع المربعات المخصصة في الموقع.

هل يعمل هذا لجمع المكعبات بدءًا من رقم غير 1؟

تحسب هذه الآلة الحاسبة المجموع بدءًا من 1. لنطاق مخصص، احسب المجموع حتى النهاية الأكبر واطرح المجموع حتى (البداية − 1).

لماذا يكون مجموع المكعبات دائمًا مربعًا كاملًا؟

ينتج هذا مباشرة عن مبرهنة نيقوماخوس: بما أن مجموع المكعبات يساوي [n(n + 1)/2]²، وأن n(n + 1)/2 هو دائمًا عدد صحيح (العدد المثلثي رقم n)، فإن مربعه يكون دائمًا مربعًا كاملًا.

أين تُستخدم صيغة مجموع المكعبات في الحياة الواقعية؟

تظهر في التوافيقيات، وفي اشتقاق هويات مجاميع كثيرات الحدود الأخرى، وفي التحقق من الحلول المغلقة الصيغة عند تحليل التعقيد الزمني لخوارزميات ذات حلقات ثلاثية متداخلة.

آلة حاسبة مجموع المكعبات — اجمع مكعبات أول n عدد صحيح

تحسب آلتنا الحاسبة لمجموع المكعبات 1³ + 2³ + 3³ + ... + n³ باستخدام الصيغة المغلقة [n(n + 1) / 2]²، مُعطية إجابة دقيقة فورًا لأي n، محسوبة بدقة BigInt حتى تبقى المجاميع الكبيرة جدًا دقيقة.

إجابة سريعة

مجموع مكعبات أول n عدد صحيح يساوي [n(n + 1) / 2]² — أي مربع مجموع أول n عدد صحيح. أدخل n أدناه للحصول فورًا على المجموع الدقيق بدقة BigInt.

أدخل n، ثم انقر على احسب.

كيفية استخدام آلة حاسبة مجموع المكعبات — صيغة Σi³ عبر الإنترنت

1
أدخل n، عدد الأعداد الصحيحة المتتالية (بدءًا من 1) لتكعيبها وجمعها.
2
انقر على 'احسب' للحصول فورًا على المجموع الدقيق.
3
راجع تفصيل الصيغة الذي يُظهر بالضبط كيف تم حساب المجموع.

لماذا تستخدم آلة حاسبة مجموع المكعبات — صيغة Σi³ عبر الإنترنت؟

لمجموع أول n مكعب صيغة مغلقة أنيقة بشكل ملحوظ: [n(n + 1) / 2]² — وهي حرفيًا مربع مجموع أول n عدد صحيح. تعني هذه المطابقة المدهشة، المعروفة بمبرهنة نيقوماخوس، أنك لن تحتاج أبدًا لجمع المكعبات واحدًا تلو الآخر — تحسب الآلة الحاسبة النتيجة الدقيقة في خطوة واحدة بغض النظر عن حجم n، باستخدام حساب BigInt حتى لا تُفقد الدقة أبدًا حتى في المجاميع الضخمة.

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

آلة حاسبة مجموع المربعات — صيغة Σi² عبر الإنترنت

احسب مجموع مربعات أول n عدد صحيح موجب فورًا باستخدام الصيغة المغلقة n(n+1)(2n+1)/6. آلة حاسبة مجانية بدقة BigInt الدقيقة.

آلة حاسبة مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة — صيغة غاوس عبر الإنترنت

احسب مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية باستخدام صيغة مجموع غاوس. آلة حاسبة مجانية بتفصيل خطوة بخطوة لأي نطاق، من 1 إلى n أو بين أي حدين.

آلة حاسبة العاملي — احسب n! عبر الإنترنت

احسب عاملي أي عدد صحيح غير سالب (n!) فورًا. آلة حاسبة عاملي مجانية مع توسيع خطوة بخطوة، وترميز علمي، وتحليل عدد الأرقام لقيم تصل إلى 1,000,000.