ما هي صيغة مجموع أول n عددًا صحيحًا موجبًا؟

المجموع = n(n + 1) / 2. على سبيل المثال، مجموع الأعداد من 1 إلى 100 هو 100 × 101 / 2 = 5,050.

من اكتشف هذه الصيغة؟

تُنسب عادةً إلى كارل فريدريش غاوس الصغير، الذي يُقال إنه وجد اختصارًا لجمع الأعداد من 1 إلى 100 بإقران الأرقام من الطرفين المتقابلين للمتتالية، رغم أن التقنية ربما كانت معروفة قبل ذلك.

هل يمكنني جمع نطاق لا يبدأ من 1؟

نعم. أدخل أي قيمة بداية ونهاية — تطرح الآلة الحاسبة المجموع حتى (البداية − 1) من المجموع حتى النهاية، مما يعطي المجموع الدقيق لنطاقك المخصص.

لماذا يعمل إقران الأرقام من الطرفين المتقابلين؟

في المتتالية من 1 إلى n، فإن إقران الأول والأخير، والثاني وقبل الأخير، وهكذا، ينتج دائمًا نفس المجموع (n + 1) لكل زوج، ويوجد n/2 من هذه الأزواج، مما يعطي إجمالي n(n + 1)/2.

ما حجم النطاق الذي يمكن لهذه الآلة الحاسبة التعامل معه؟

نظرًا لأن الصيغة عملية حسابية مباشرة وليست حلقة تكرار، فإنها تحسب مجاميع نطاقات تصل حتى تريليون فورًا دون أي تأثير على الأداء.

ما هو متوسط نطاق من الأعداد الصحيحة المتتالية؟

لأي نطاق من الأعداد الصحيحة المتتالية، يساوي المتوسط دائمًا القيمة الوسطى: (البداية + النهاية) / 2. تُظهر هذه الآلة الحاسبة هذا المتوسط بجانب المجموع.

هل يعمل هذا لجمع المربعات أو المكعبات بدلًا من الأعداد الصحيحة العادية؟

لا — تجمع هذه الآلة الحاسبة الأعداد الصحيحة نفسها (1 + 2 + 3 + ...). لمجاميع المربعات أو المكعبات، هناك حاجة إلى صيغة مغلقة مختلفة.

أين تُستخدم هذه الصيغة في الحياة الواقعية؟

بالإضافة إلى كونها مثالًا تعليميًا كلاسيكيًا، يظهر هذا الجمع في التوافيقيات، وفي تحليل زمن تشغيل الحلقات المتداخلة في علوم الحاسوب، وفي أي مكان يظهر فيه نمط العدد المثلثي.

آلة حاسبة مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة — اجمع نطاقًا من الأعداد الصحيحة فورًا

تجمع آلتنا الحاسبة لمجموع الأعداد الصحيحة الموجبة كل عدد صحيح في نطاق — من مجموع بسيط '1 إلى n' إلى أي نطاق مخصص بين عددين صحيحين موجبين — باستخدام صيغة غاوس الأنيقة المغلقة، لذا تكون الإجابة فورية حتى للنطاقات الضخمة. سترى المجموع الإجمالي، وعدد الأرقام المجموعة، والقيمة المتوسطة، وشرحًا خطوة بخطوة للصيغة كما تُطبَّق على نطاقك المحدد.

إجابة سريعة

مجموع الأعداد من 1 إلى n يساوي n(n + 1) / 2 — 'صيغة غاوس' ذات الشكل المغلق. توسّع هذه الآلة الحاسبة ذلك ليشمل أي نقطة بداية، مما يمنحك فورًا المجموع الدقيق لأي نطاق من الأعداد الصحيحة الموجبة المتتالية، إلى جانب عدد وحدات النطاق ومتوسطه.

البداية (m)

النهاية (n)

أدخل قيمة البداية والنهاية، ثم انقر على احسب.

كيفية استخدام آلة حاسبة مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة — صيغة غاوس عبر الإنترنت

1
أدخل العدد الصحيح البدائي لنطاقك (استخدم 1 لمجموع '1 إلى n' الكلاسيكي).
2
أدخل العدد الصحيح النهائي لنطاقك.
3
انقر على 'احسب' للحصول فورًا على المجموع وعدد الأرقام والمتوسط.
4
راجع تفصيل الصيغة خطوة بخطوة الذي يُظهر بالضبط كيف تم حساب المجموع.

لماذا تستخدم آلة حاسبة مجموع الأعداد الصحيحة الموجبة — صيغة غاوس عبر الإنترنت؟

تقول الأسطورة إن كارل فريدريش غاوس الصغير أذهل معلمه بجمع الأعداد من 1 إلى 100 فورًا — ليس بجمع كل رقم على حدة، بل بإقران الأول والأخير (1 + 100)، والثاني وقبل الأخير (2 + 99)، وهكذا، ملاحظًا أن كل زوج يعطي نفس المجموع الكلي. تعطي هذه البصيرة صيغة n(n + 1) / 2، التي تحسب مثل هذا المجموع في خطوة واحدة بغض النظر عن حجم n. تُطبّق آلتنا الحاسبة نفس هذه الصيغة (موسّعة للتعامل مع أي نقطة بداية، وليس فقط 1) حتى تحصل على إجابة دقيقة فورًا، حتى للنطاقات الممتدة عبر ملايين أو مليارات الأرقام.

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

آلة حاسبة العاملي — احسب n! عبر الإنترنت

احسب عاملي أي عدد صحيح غير سالب (n!) فورًا. آلة حاسبة عاملي مجانية مع توسيع خطوة بخطوة، وترميز علمي، وتحليل عدد الأرقام لقيم تصل إلى 1,000,000.

آلة حاسبة معامل ذو الحدين — احسب C(n,k) عبر الإنترنت

احسب معاملات ذات الحدين C(n, k) فورًا مع حلول خطوة بخطوة، وتصور صف مثلث باسكال، والحد المطابق من التوسيع الثنائي لـ (a + b)ⁿ.

آلة حاسبة علمية — آلة حاسبة مجانية عبر الإنترنت

آلة حاسبة علمية مجانية عبر الإنترنت مع دوال مثلثية ولوغاريتمية وأسية وعاملية. بدّل بين الدرجات والراديان، واستخدم مفاتيح الذاكرة، واطّلع على سجل الحسابات.