前n个整数的立方和公式是什么？

Σi³（i从1到n）= [n(n + 1) / 2]²。例如，1到10的立方和是[10 × 11 / 2]² = 55² = 3,025。

什么是尼科马库斯定理？

这是一个经典结果，指出前n个立方数的和总是等于前n个整数之和的平方——这是两个看似不同的和之间的惊人联系。

通常通过数学归纳法证明：验证基本情况n = 1，然后证明在两边加上(n + 1)³后仍然等于[(n + 1)(n + 2) / 2]²。

由于该公式是直接计算而非循环运算，它可以使用BigInt运算即时计算高达10亿的n的精确和，无论结果有多少位数，都能保持精确。

有——前n个平方数的和有其自己的闭合公式n(n + 1)(2n + 1) / 6，本站的专用平方和计算器涵盖了这一内容。

本计算器计算从1开始的和。对于自定义范围，请计算到较大端点的和，然后减去到（起始值 − 1）的和。

这直接源于尼科马库斯定理：由于立方和等于[n(n + 1)/2]²，而n(n + 1)/2总是一个整数（第n个三角形数），因此它的平方总是一个完全平方数。

它出现在组合数学中、推导其他多项式和恒等式时，以及在分析三重嵌套循环算法的时间复杂度时验证闭合形式解。

我们的立方和计算器使用闭合公式[n(n + 1) / 2]²计算1³ + 2³ + 3³ + ... + n³，对任意n即时给出精确答案，并以BigInt精度计算，因此即使是非常大的和也能保持精确。

前n个整数的立方和等于[n(n + 1) / 2]²——即前n个整数之和的平方。在下方输入n，即可即时获得以BigInt精度计算的精确和。

输入n，然后点击计算。

前n个立方数的和有一个异常优雅的闭合公式：[n(n + 1) / 2]²——字面意思就是前n个整数之和的平方。这个被称为尼科马库斯定理的惊人恒等式意味着您永远不需要逐个相加立方数——无论n有多大，本计算器都能使用BigInt运算一步计算出精确结果，即使是巨大的总和也不会损失精度。