什么是二项式系数？

二项式系数C(n, k)，也写作ⁿCₖ或「n选k」，是展开(a + b)ⁿ时乘以aⁿ⁻ᵏbᵏ项的数字。计算公式为n! / (k!(n - k)!)。

这与组合计算器有什么不同？

两者使用相同的公式并得到相同的数字，但此工具将结果呈现为二项展开式(a + b)ⁿ中的一项，而组合计算器将其呈现为从n个集合中选择k个项目——相同的数学，两种不同的实际用途。

二项式定理指出(a + b)ⁿ = Σ C(n, k) aⁿ⁻ᵏ bᵏ，对k从0到n求和。每一项的系数正是二项式系数C(n, k)。

帕斯卡三角形的第n行按顺序包含所有系数C(n, 0)到C(n, n)。查看整行可以显示对称模式——C(n, k)始终等于C(n, n - k)——以及您的特定系数相对于相邻项的位置。

由于n次二项展开式只有k从0到n的项，当k > n时C(n, k)是未定义的。这种情况下计算器会显示错误。

两者始终等于1——任何二项展开式的第一项和最后一项（aⁿ和bⁿ）的系数始终为1。

您可以输入最高1,000的n值并获得精确系数。由于更大的行难以显示，帕斯卡三角形行的可视化仅在n不超过20时显示。

二项式系数是二项概率分布的基础，出现在组合数学问题中，并广泛应用于计算机科学中的算法分析和计数问题。

我们的二项式系数计算器求出C(n, k)——使用二项式定理展开(a + b)ⁿ时，aⁿ⁻ᵏbᵏ项前面出现的系数。输入n和k即可获得精确系数、完整的展开项，以及该n对应的帕斯卡三角形整行（您的系数会被高亮显示），让您准确看到它在相邻项中的位置。

二项式系数C(n, k)是展开(a + b)ⁿ时aⁿ⁻ᵏbᵏ项前面的数字，计算公式为n! / (k!(n − k)!)。在下方输入n和k，即可获得精确系数、完整的展开项以及帕斯卡三角形的行视图。

指数（n）

项位置（k）

输入n和k，然后点击计算。

二项式定理是代数和概率中使用最频繁的恒等式之一，但手动展开(a + b)ⁿ，一旦超过n = 4或5就会变得繁琐且容易出错。我们的计算器即时给出任意单个系数——便于在不写出整个展开式的情况下核对某一项——而帕斯卡三角形行视图则在上下文中展示该系数，使二项式系数的对称性和规律一目了然。